Física SAT II Gratis - Vectores - Soluciones

Soluciones a las preguntas de física del SAT sobre vectores, con explicaciones detalladas.

¿Cuál de los siguientes está representado por un vector?
I) velocidad II) rapidez III) desplazamiento IV) distancia V) fuerza VI) aceleración
A) Solo I
B) III y IV solamente
C) I, III, V y VI
D) III, V y VI solamente
E) Ninguno
Solución - Explicaciones
En física, la velocidad, el desplazamiento, la fuerza y la aceleración están definidos como magnitudes vectoriales.
¿Cuál de los siguientes no está representado por un vector?
I) masa II) campo eléctrico III) campo magnético IV) corriente V) voltaje VI) trabajo
A)I , IV, V y VI
B) II y III
C) Todos
D) I , IV y V solamente
E) I y IV solamente
Solución - Explicaciones
En física, la masa, la corriente, el voltaje y el trabajo están definidos como cantidades escalares y, por lo tanto, NO están representados por vectores.
A y B son vectores con un ángulo θ entre ellos, tal que 0 < θ < 90°. Si | A |, | B | y | A + B | son las magnitudes de los vectores A, B y A + B, respectivamente, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) | A + B | > | A | + | B |
B) | A + B | = | A | + | B |
C) | A + B | = √(| A |² + | B |²)
D) | A + B | < √(| A |² + | B |²)
E) | A + B | < | A | + | B |
Solución - Explicaciones
Comienza con la siguiente identidad:
(A + B)·(A + B) = (A + B)·(A + B)
Usa el producto escalar para reescribir lo anterior de la siguiente manera:
| A + B |² = | A |² + | B |² + 2 A · B
Reescríbelo como:
| A + B |² = | A |² + | B |² + 2 |A| |B | cos (θ)
Dado que 0 < θ <90°, podemos escribir:
0 < cos (θ) < 1
Multiplica todos los términos de la desigualdad por 2 |A| |B | para obtener:
0 < 2 |A| |B | cos (θ) < 2 |A| |B |
Suma | A |² + | B |² a todos los términos de la desigualdad anterior para obtener:
| A |² + | B |² < | A |² + | B |² + 2 |A| |B | cos (θ) < | A |² + | B |² + 2 |A| |B |
La desigualdad anterior ahora se puede escribir como:
| A |² + | B |² < | A + B |² < ( | A | + | B | )²
Todos los términos de la desigualdad anterior son positivos, por lo que podemos escribir la siguiente desigualdad tomando la raíz cuadrada como sigue:
√[ | A |² + | B |² ] < | A + B | < ( | A | + | B | )
¿Cuál de los siguientes es un vector unitario en la misma dirección que el vector A = 3 i - 4 j, donde i y j son los vectores unitarios a lo largo de los ejes x y y respectivamente?
A) (3/5) i + (4/5) j
B) (9/5) i - (16/5) j
C) (3/5) i - (4/5) j
D) - (3/5) i + (4/5) j
E) (3/25) i - (4/25) j
Solución - Explicaciones
El vector unitario u en la misma dirección que el vector A = 3 i - 4 j se calcula de la siguiente manera:
u = A / | A | = ( 3 i - 4 j ) / √(3² + (-4)²)
= (3/5) i - (4/5)j
Si A y B son vectores, entonces A ·( A × B ) =
A) | A |³
B) 0
C) | A |²
D) 1
E) | A |
Solución - Explicaciones
El producto cruzado A × B da un vector perpendicular a ambos vectores A y B , y por lo tanto el producto escalar entre los vectores A y A × B , que es perpendicular a A, es igual a cero.
El vector U tiene una magnitud de 3 y apunta hacia el norte. El vector V tiene una magnitud de 7 y apunta hacia el este. | U + V | es la magnitud del vector U + V . ¿Cuál de las siguientes es correcta?
A) | U + V | > 10
B) | U + V | = 10
C) | U + V | = √58
D) | U + V | = √10
E) | U + V | = 4
Solución - Explicaciones
Los ejes x e y están dirigidos hacia el este y el norte, respectivamente, por lo que los componentes de U + V se dan de la siguiente manera:
U + V = 3j + 7 i
La magnitud ahora se calcula de la siguiente forma:
| U + V | = √(7² + 3²) = √ 58
Dado los vectores U = 2 i + 2j y V = 2i - 2j. ¿Qué ángulo forma el vector U - V con el eje x positivo?
A) 0 °
B) 45 °
C) -90 °
D) 90 °
E) -45 °
Solución - Explicaciones
U - V = 2 i + 2j - (2i - 2j) = 4j
U - V es proporcional al vector unitario j, que forma 90° con el eje x positivo. Por lo tanto, U - V forma un ángulo de 90° con el eje x positivo.
Dos fuerzas F1 y F2 se utilizan para tirar de un objeto. El ángulo entre las dos fuerzas es θ. ¿Para qué valor de θ la magnitud de la fuerza resultante es igual a √(|F1|² + |F2|²)?
A) 90 °
B) 135 °
C) 45 °
D) 180 °
E) 0 °
Solución - Explicaciones
Sea R la fuerza resultante y escribe:
R = F1 + F2
Usa el producto escalar para escribir:
R R = (F1 + F2) · (F1 + F2)
Expande los términos en el lado derecho:
|R|² = |F1|² + |F2|² + |F1| |F2| cos (θ)
Para θ = 90°, cos (θ) = 0
y
|R|² = |F1|² + |F2|²
Tomando la raíz cuadrada obtenemos:
|R| = √ (|F1|² + |F2|²)
Dos fuerzas F1 = 3i + bj y F2 = 9i + 12j actúan sobre el mismo objeto. (i y j son los vectores unitarios a lo largo de los ejes x e y positivos). ¿Para qué valor de b será mínima la magnitud de la fuerza resultante?
A) 0
B) - 12
C) 9
D) - 10
E) 4
Solución - Explicaciones
Sea R la fuerza resultante
R = F1 + F2 = 3i + bj + 9i + 12j = 12i + (b + 12)j
calcula la magnitud
R = √( 144 + (b + 12)² )
la cantidad bajo el radical es positiva, por lo tanto, un valor de b que minimice 144 + (b + 12)² también minimizará la magnitud de R
144 + (b + 12)² es una expresión cuadrática y tiene un valor mínimo cuando b = -12 (posición del vértice)
Encuentra m para que los vectores A = 5 i - 10 j y B = 2 m i + (1 / 2) j sean paralelos.
A) 5
B) - 40
C) 8
D) - 1 / 8
E) - 5
Solución - Explicaciones
Para que los vectores A y B sean paralelos, debe haber un número real K tal que A = K B
A = 5 i - 10 j = K ( B = 2 m i + (1 / 2) j )
Las componentes son iguales, por lo tanto
5 = K (2 m)
-10 = K (1 / 2)
Resuelve la segunda ecuación para K: K = -20
Sustituye K por -20 en la ecuación 5 = K (2 m)
5 = -20 (2 m)
Resuelve para m
m = - 5 / 40 = - 1 / 8

Respuestas a las preguntas anteriores