Problemas con Planos Inclinados con Soluciones

Introducción

Los problemas de planos inclinados que involucran gravedad, fuerzas de fricción, objetos en movimiento, etc., requieren representaciones vectoriales de estas cantidades. Las componentes son más adecuadas para representar fuerzas usando un sistema de ejes rectangulares, ya que facilitan cálculos como la suma de fuerzas. También se utilizan diagramas de cuerpo libre, así como la segunda ley de Newton para escribir ecuaciones vectoriales.

Un video con ejemplos sobre Componentes de Vectores puede ser útil.

Problemas con Soluciones Detalladas

Problema 1 (Sin fricción)

Una caja de 2 kg se coloca en la superficie de un plano inclinado a 27 ° con la horizontal. Se asume que la superficie del plano inclinado es sin fricción.
a) Dibujar un diagrama de cuerpo libre de la caja en el plano inclinado y etiquetar todas las fuerzas que actúan sobre la caja.
b) Determinar la aceleración a de la caja hacia abajo en el plano.
c) Determinar la magnitud de la fuerza ejercida por el plano inclinado sobre la caja.

Solución
a)
Diagrama de Cuerpo Libre
caja en un plano inclinado sin fricción
Supongamos que el pequeño punto azul es la caja
Dos fuerzas actúan sobre la caja: el peso W de la caja y N la fuerza normal y ejercida por el plano inclinado sobre la caja (punto azul).
b)
Use el sistema de ejes x-y como se muestra para escribir todas las fuerzas en su forma de componentes

fuerzas sobre una caja en un plano inclinado sin fricción

Vectores N, W y a en forma de componentes:
     N = (0 , |N|)
     W = (Wx , Wy) = (|W| cos (27°) , - |W| sin (27°))
     a = (ax , ay) = (|a| , 0), la caja se mueve hacia abajo en el plano inclinado en la dirección de x positiva, por lo tanto, ay = 0.
Use la segunda ley de Newton para escribir que la suma de todas las fuerzas sobre la caja es igual a la masa por la aceleración (ecuación vectorial).
     W + N = M a, M es la masa de la caja.
En forma de componentes, la ecuación anterior se convierte en
     (|W| sin (27°) , - |W| cos (27°)) + (0 , |N|) = M (|a| , 0)
Para que dos vectores sean iguales, sus componentes deben ser iguales. Entonces
     Los componentes x son iguales: |W| sin (27°) + 0 = M |a|
     Los componentes y son iguales: - |W| cos (27°) + |N| = 0
     M |a| = |W| sin (27°)
Peso: |W| = M g; g = 10 m/s2
|a| = M g sin (27°) / M = g sin (27) m/s^2 ≈ 4.5 m/s^2
c)
|N| = |W| cos (27°) = 2 × 10 cos (27°) ≈ 17.8 N

Problema 2

Una partícula de masa 5 Kg descansa sobre un plano inclinado de 30° con respecto a la horizontal. Una fuerza Fa de magnitud 30 N actúa sobre la partícula en la dirección paralela y hacia arriba del plano inclinado.
a) Dibuja un diagrama de cuerpo libre que incluya la partícula, el plano inclinado y todas las fuerzas que actúan sobre la partícula con sus etiquetas.
b) Encuentra la fuerza de fricción que actúa sobre la partícula.
c) Encuentra la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre la partícula.
Solución
a)

Diagrama de Cuerpo Libre
La caja es el pequeño punto azul. En el diagrama de abajo, W es el peso de la caja, N la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre la caja, Fa es la fuerza aplicada para mantener la caja en equilibrio y Fs la fuerza de fricción opuesta a Fa.
caja en un plano inclinado con fricción
b)

fuerzas con componentes en un plano inclinado con fricción

La caja está en reposo, por lo tanto, su aceleración es igual a 0, y la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la caja es igual a su masa por su aceleración, que es cero. (Segunda ley de Newton)
     Fa + W + N + Fs = 0
La forma de componentes de todas las fuerzas (vectores) que actúan sobre la caja es:
     Fa = (30 , 0)
     |W| = 5 × 10 = 50 N
     W = (Wx , Wy) = ( - |W| sin(30°) , - |W| cos(30°)) = (- 50 sin (30°) , - 50 cos (30°) )
     N = (0 , |N|)
     Fs = (-|F| , 0)
La forma de componentes de Fa + W + N + Fs = 0:
     (30 , 0) + (- 50 sin (30°) , - 50 cos (30°) ) + (0 , |N|) + (-|F| , 0) = 0
     componentes en x: 30 - 50 sin(30) + 0 - |F| = 0
     |F| = - 50 sin(30) + 30 = 5 N
c)
ecuación de componentes en y:
     0 - 50 cos (30) + |N| + 0 = 0
     |N| = 50 cos (30) = 25 √3 ≈ 43.3 N

Problema 3

Una caja de masa M = 10 Kg descansa sobre un plano inclinado de 35° con respecto a la horizontal. Se utiliza una cuerda para mantener la caja en equilibrio. La cuerda forma un ángulo de 25 ° con el plano inclinado. El coeficiente de fricción entre la caja y el plano inclinado es 0.3.

caja sostenida con cuerda en plano inclinado con fricción

a) Dibuja un diagrama de cuerpo libre que incluya todas las fuerzas que actúan sobre la partícula con sus etiquetas.
b) Encuentra la magnitud de la tensión T en la cuerda.
c) Encuentra la magnitud de la fuerza de fricción que actúa sobre la partícula.

Solución
a)

Diagrama de Cuerpo Libre
T es la tensión de la cuerda, W el peso de la caja, N la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre la caja, Fs es la fuerza de fricción.

b)
Fuerzas y sus componentes en el sistema de ejes x-y.
componentes de fuerzas en caja con cuerda en plano inclinado
componentes de fuerzas en caja con cuerda en plano inclinado

Equilibrio: W + T + N + Fs = 0
Fuerzas representadas por sus componentes
     W = (Wx , Wy) = ( - M g sin(35°) , - M g cos(35°))
     T = (Tx , Ty) = (|T| cos (25°) , |T| sin (25°) )
     N = (0 , Ny) = (0 , |N|)
Fs = (- |Fs| , 0) = ( - μs |N| , 0) , donde μs es el coeficiente de fricción entre la caja y el plano inclinado.
Suma de componentes en x = 0
- M g sin(35°) + |T| cos (25°) + 0 - μs |N| = 0
que se puede reescribir como
     |T| cos (25°) = μs |N| + M g sin(35°)
suma de componentes en y = 0
     - M g cos(35°) + |T| sin (25°) + |N| + 0 = 0
     |T| sin (25°) = M g cos(35°) - |N|
Ahora necesitamos resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas |T| y |N|.
     |T| cos (25°) = μs |N| + M g sin(35°)         (ecuación 1)
     |T| sin (25°) = M g cos(35°) - |N|         (ecuación 2)
resolver la ecuación 2 anterior para |N| para obtener
     |N| = M g cos(35°) - |T| sin (25°)
Sustituir |N| por M g cos(35°) - |T| sin (25°) en la ecuación 1 para obtener
     |T| cos (25°) = μs [ M g cos(35°) - |T| sin (25°) ] + M g sin(35°)
reescribir la ecuación anterior como sigue
     |T| [ cos (25°) + μs sin (25°) ] = μs M g cos(35°) + M g sin(35°)
Resolver para |T|

|T| =  
μs M g cos(35°) + M g sin(35°)
cos (25°) + μs sin (25°)
Sustituir con valores numéricos
μs = 0.3, M = 10 Kg, g = 10 m/s2
|T| ≈ 79.3 N
c)
Usar |N| = M g cos(35°) - |T| sin (25°) encontrado anteriormente
     |N| = 100 cos(35°) - 79.3 sin (25°) ≈ 48.4 N

Problema 4

Una caja de 100 Kg se debe bajar a velocidad constante por un plano inclinado de 4 metros de largo desde la parte trasera de un camión a 2 metros sobre el suelo. El coeficiente de fricción cinética es igual a 0.45. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza Fa que se debe aplicar paralela al plano inclinado para frenar la caja y mantener su descenso a velocidad constante?

caja bajando por un plano inclinado desde un camión
Solución

Diagrama de Cuerpo Libre
fuerzas que actúan sobre la caja (punto morado) y sus componentes.
W el peso de la caja, N la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre la caja, Fa la fuerza aplicada para que la caja descienda a velocidad constante y Fk la fuerza de fricción cinética (la caja se mueve hacia abajo, la fuerza de fricción es opuesta al movimiento).

fuerzas actuando sobre una caja bajando de un camión por un plano inclinado
fuerzas actuando sobre una caja bajando de un camión por un plano inclinado

Componentes de todas las fuerzas
     N = (0 , Ny) = (0 , |N|)
     Fa = (|Fa| , 0)
     Fk = (|Fk| , 0)
     W = (- M g sin α , - M g cos α )
Segunda ley de Newton: velocidad constante significa aceleración = 0, la suma de todas las fuerzas es igual a la masa por la aceleración, por lo tanto
     W + N + Fa + Fk = 0 (forma vectorial)
ecuaciones componentes
     componentes en x: 0 + |Fa| + |Fk| - M g sin α = 0         (eq 1)
     componentes en y: |N| + 0 + 0 - M g cos α = 0         (eq 2)
la ecuación (2) da
     |N| = M g cos α
fórmula de la fuerza de fricción cinética: |Fk| = μk |N| = μk M g cos α
sustituir |Fk| por μk M g cos α en la ecuación (1)
     |Fa| = M g sin α - |Fk| = M g sin α - μk M g cos α
M = 100 Kg, g = 10 m/s2
sin α = 2/4 = 1/2
sin α = √(1 - sin2 α) = √3 / 2
     |Fa| = 1000 (1/2 - 0.45 √3 / 2) ≈ 110.3 N

Problema 5

Una caja de masa M = 7 Kg se mantiene en reposo en un plano inclinado de 25° mediante una fuerza Fa que actúa horizontalmente, como se muestra en la figura siguiente. La caja está a punto de deslizarse por el plano inclinado. El coeficiente de fricción estática entre la caja y el plano inclinado es μs = 0.3. Encuentra la magnitud de la fuerza Fa.

fuerzas actuando horizontalmente sobre una caja en un plano inclinado
Solución
Diagrama de Cuerpo Libre
componentes de fuerzas actuando sobre una caja en un plano inclinado

     W = (-M g sin α , -M g cos α )
     N = (0 , |N|)
     Fa = (|Fa| cos α , - |Fa| sin α)
     Fs = (|Fs| , 0) = (μs|N| , 0)
la suma de todas las componentes en x = 0 da:
     - M g sin α + 0 + |Fa| cos α + μs|N| = 0         (ecuación 1)
la suma de todas las componentes en y = 0 da:
     - M g cos α + |N| - |Fa| sin α + 0 = 0         (ecuación 2)
La ecuación (2) da:
     |N| = |Fa| sin α + M g cos α
Sustituir |N| por |Fa| sin α + M g cos α en la ecuación (1) para obtener
     - M g sin α + |Fa| cos α + μs( |Fa| sin α + M g cos α ) = 0
     |Fa| (cos α + μs sin α ) = M g sin α - μs M g cos α

|Fa| =  
M g sin α - μs M g cos α
cos α + μs sin α
Valores numéricos
M = 7 Kg, α = 25°, μs = 0.3
     |Fa| = 70 [ sin 25° - 0.3 cos 25° ] / [ cos 25° + 0.3 sin 25° ] ≈ 10.2 N