Tensión, Cuerda, Problemas de Fuerzas con Soluciones

Se presentan varios problemas con soluciones y explicaciones detalladas sobre sistemas con cuerdas, poleas y planos inclinados. Se utilizan diagramas de cuerpo libre de fuerzas, fuerzas expresadas por sus componentes y las leyes de Newton para resolver estos problemas. También se incluyen problemas que involucran fuerzas de fricción y tensión de cuerdas y cables.

Problema 1

Un bloque de masa 5 Kg está suspendido por una cuerda del techo y está en reposo. Encuentra la fuerza Fc ejercida por el techo sobre la cuerda. Supón que la masa de la cuerda es despreciable.
tensión en una caja suspendida
Solución
a)
El diagrama de cuerpo libre a continuación muestra el peso W y la tensión T1 actuando sobre el bloque. Tensión T2 actuando sobre el techo y Fc la reacción a T2.
fuerzas y tensión en una caja suspendida
Según la tercera ley de Newton (acción-reacción): |Fc| = |T2|
Ahora consideramos las fuerzas actuando sobre el bloque (Diagrama de Cuerpo Libre).
Dado que el bloque está en reposo, W + T1 = 0 (segunda ley de Newton, ecuación vectorial).
     W = (0 , -|W|)
     T1 = (0, |T1|)
Por lo tanto: (0 , -|W|) + (0, |T1|) = 0
     La suma de las coordenadas y = 0 da |W| = |T1|
T1 y T2 representan la tensión de la cuerda y sus magnitudes son iguales. Por lo tanto:
    |T2| = |T1|
T2 y Fc son pares de acción y reacción, por lo que sus magnitudes son iguales. Por lo tanto:
    |Fc| = |T2| = |T1| = |W| = m g = 5×10 = 50 N

Problema 2

En la figura de abajo se muestra un sistema con dos bloques unidos por una cuerda a través de una polea, donde el bloque de masa m1 se desliza sobre una mesa sin fricción. Suponemos que la cuerda es sin masa y la polea es sin masa y sin fricción.
sistema de dos bloques y polea
a) Encuentra la magnitud de la aceleración de las dos masas.
b) Encuentra la tensión en la cuerda.
Solución
a)

sistema de dos bloques y polea con fuerzas
1) diagrama de cuerpo libre del bloque m1
La segunda ley de Newton, suponiendo que m1 acelera de izquierda a derecha y |a| es la magnitud de la aceleración.
     W1 + T1 + N = (m1 |a| , 0)
con
     W1 = (0 , - |W1|) = (0 , -m1 g)
     N = (0 , |N|)
     T1 = (|T1| , 0)
La ecuación anterior en forma de componentes: (0 , -m1 g) + (0 , |N|) + (|T1| , 0) = (m1 |a| , 0)
Ecuación de componentes en x:
     0 + 0 + |T1| = m1 |a|
2) diagrama de cuerpo libre del bloque m2
La segunda ley de Newton, suponiendo que m2 acelera hacia abajo y |a| es la magnitud de la aceleración.
     W2 + T2 = (0 , -m2 |a|)
     W2 = (0 , - |W2|) = (0 , - m2 g)
     T2 = (0 , |T2|)
     (0 , - m2 g) + (0 , |T2|) = (0 , -m2 |a|)
Ecuación de componentes en y:
     - m2 g + |T2| = - m2 |a|
Nota: |T1| = |T2| la tensión en la cuerda es la misma
Combinando las ecuaciones |T1| = m1 |a|, |T1| = |T2| y -m2 g + |T2| = - m2 |a| encontradas anteriormente, podemos escribir
     - m2 g + m1 |a| = - m2 |a|
Resolvemos para |a|
     |a| = m2 g / (m1 + m2)
b)
Usamos |T1| = m1 |a| y |a| = m2 g / (m1 + m2) para obtener
     |T1| = m1 |a| = m1 m2 g / (m1 + m2)

Problema 3

En el sistema de poleas y bloques de masas m1 y m2 que se muestra a continuación, la polea es sin fricción y sin masa, y la cuerda alrededor de la polea es sin masa. Encuentra una expresión para la aceleración cuando los bloques se sueltan desde el reposo.
dos bloques y un sistema de cuerdas
Solución


dos bloques y un sistema de cuerdas con fuerzas
Sea |a| la magnitud de la aceleración de m1 y m2, asumiendo que m1 acelera hacia arriba y m2 acelera hacia abajo.
1) Diagrama de cuerpo libre de m1
W1 el peso de m1
T1 la tensión de la cuerda en m1 (fuerza ejercida por la cuerda sobre m1)
a1 (vector) aceleración de m1
     W1 + T1 = m1 a1 ( Segunda ley de Newton (ecuación vectorial) )
     W1 = (0 , -|W1|)
     T1 = (0 , |T1|)
     a1 = (0 , |a|) aceleración asumiendo que m1 acelera hacia arriba.
     (0 , -|W1|) + (0 , |T1|) = m1 (0 , |a|)
Ecuación de componentes en y
     -|W1| + |T1| = m1 |a| ecuación (1)
2) Diagrama de cuerpo libre de m2
W2 el peso de m2
T2 la tensión de la cuerda en m2 (fuerza ejercida por la cuerda sobre m2)
a2 (vector) aceleración de m2
     W2 + T2 = m2 a2 ( Segunda ley de Newton (ecuación vectorial))
     W2 = (0 , -|W2|)
     T2 = (0 , |T2|)
     a2 = (0 , - |a|) , asumiendo que m2 acelera hacia abajo.
     (0 , -|W2|) + (0 , |T2|) = m2 (0 , -|a|)
Ecuación de componentes en y
     - |W2| + |T2| = - m2 |a| ecuación (2)
Usamos las ecuaciones (1) y (2) encontradas anteriormente para escribir
     |T1| = m1 |a| + |W1|
     |T2| = - m2 |a| + |W2|
T1 y T2 representan la tensión en la misma cuerda y, por lo tanto, sus magnitudes son iguales.
Usando el hecho de que |T1| = |T2| y las dos últimas ecuaciones, escribimos
     m1 |a| + |W1| = - m2 |a| + |W2|
W1 y W2 son los pesos de m1 y m2 y se dan por
     |W1| = m1 g y |W2| = m2 g
Sustituyendo en la ecuación anterior escribimos
     m1 |a| + m1 g = - m2 |a| + m2 g
Resolvemos para |a| para obtener
     |a| = g ( m2 - m1 ) / (m1 + m2)

Problema 4

Tres cuerdas están atadas en el punto P, con dos de estas cuerdas sujetas al techo formando ángulos α1, α2 y un bloque de masa m cuelga de la tercera como se muestra a continuación.
sistema de tres cuerdas y tensiones
a) Encuentra la magnitud de la tensión en cada cuerda en términos de α1, α2 y m para que el sistema esté en reposo.
b) Encuentra valores numéricos para las tres tensiones encontradas arriba para α1 = 45°, α2 = 30° y m = 1 Kg.
Solución
sistema de tres cuerdas y tensiones con fuerzas

a)
1) Diagrama de cuerpo libre de m
     W + T '3 = 0
     W = (0 , -|W|), peso
     T '3 = (0 , |T '3|), tensión de la cuerda
La ecuación de componentes y da
     |T '3| = |W|
Tensión en la misma cuerda
     |T3| = |T '3| = |W|
2) Diagrama de cuerpo libre del punto P
En el punto p (origen del sistema de ejes x y)
     T1 + T2 + T3 = 0 (segunda ley de Newton)
     T1 = ( |T1| cos α1 , |T1| sin α1)
     T2 = ( -|T2| cos α2 , |T2| sin α2)
     T3 = (0 , -|T3|) = (0 , -|W|), (dado que |T3| = |T '3| = |W| ya encontrado arriba)
La suma de componentes x = 0 da la ecuación
     |T1| cos α1 - |T2| cos α2 = 0 (ecuación 1)
La suma de componentes y = 0 da la ecuación
     |T1| sin α1 + |T2| sin α2 - |W| = 0 (ecuación 2)
Lo anterior es un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas |T1| y |T2|.
Resolviendo el sistema de ecuaciones usando la regla de Cramer, obtenemos
     |T1| = |W| cos α2 / ( cos α1 sin α2 + sin α1 cos α2 ) = |W| cos α2 / sin(α1 + α2)
     |T2| = |W| cos α1 / ( cos α1 sin α2 + sin α1 cos α2 ) = |W| cos α1 / sin(α1 + α2)
b)
Aplicación numérica
α1 = 45°, α2 = 30°, m = 1 Kg y g = 10 m/s2
     |W| = 1×10 = 10 N
     |T1| = |W| cos α2 / sin(α1 + α2) = 10 cos 30° /sin(45°+30°) = 9.0 N
     |T2| = |W| cos α1 / sin(α1 + α2) = 10 cos 45° /sin(45°+30°) = 7.3 N

Problema 5

El sistema a continuación incluye 3 bloques de masas m1 = 1 Kg, m2 = 2 Kg y m3 = 5 Kg vinculados por cuerdas y poleas sin masa y sin fricción.
sistema de tensión de dos cuerdas y 3 bloques
a) Encuentra la magnitud de la aceleración de los 3 bloques.
b) Encuentra la magnitud de la tensión de la cuerda entre m1 y m2.
c) Encuentra la magnitud de la tensión de la cuerda entre m2 y m3.
Solución
sistema de tensión de dos cuerdas y 3 bloques fuerzas

a)
Asumimos que m1 está acelerando hacia arriba, m2 de izquierda a derecha y m3 hacia abajo.
Aplicamos la segunda ley de Newton para cada bloque. |a| es la magnitud de la aceleración de los 3 bloques.
1) Diagrama de cuerpo libre de m1
     W1 + T '1 = (0 , m1 |a|) (ley de Newton)
     (0 , -|w1|) + (0 , |T '1|) = (0 , m1 |a|) (ec. anterior usando componentes, ecuación 1)
2) Diagrama de cuerpo libre de m2
     W2 + T1 + T2 + N = (m2 |a| , 0)
     (0 , -|W2|) + (-|T1| , 0) + (|T2| , 0) + (0 , |N|) = (m2 |a| , 0) (ec. anterior usando componentes, ecuación 2)
3) Diagrama de cuerpo libre de m3
     W3 + T '2 = (0 , -m3 |a|)
     (0 , -|W3|) + (0 , |T '2|) = (0 , -m3 |a|) (ec. anterior usando componentes, ecuación 3)
La ecuación 1 da: -|w1| + |T '1| = m1 |a|, componentes y iguales
La ecuación 2 da: -|T1| + |T2| = m2 |a|, componentes x iguales
La ecuación 3 da: -|W3| + |T '2| = -m3 |a|, componentes y iguales
También tenemos
     |T '1| = |T1| misma tensión en la cuerda entre m1 y m2
     |T '2| = |T2| misma tensión en la cuerda entre m2 y m3
Combinando todas las ecuaciones anteriores obtenemos
     |a| = g (m3 - m1) / (m1 + m2 + m3)
Usa m1 = 1 Kg, m2 = 2 Kg y m3 = 5 Kg y g = 10 m/s2
     |a| = 10 (5 - 1) / (1 + 2 + 5) = 5 m/s2
b)
     |T1| = |T '1| = m1 |a| + |w1|
     |T1| = |T '1| = 1 × 5 + 1×10 = 15 N
c)      |T2| = |T '2| = m2 |a| + |T1| = m2 |a| + m1|a| + |w1|
     |T2| = |T '2| = 10 + 15 = 25 N

Problema 6

En el sistema a continuación, bloques de masas m1 = 10 Kg y m2 = 30 Kg están vinculados por una cuerda sin masa a través de una polea sin fricción.
Un sistema de cuerda, polea y plano inclinado
a) Encuentra la magnitud de la aceleración de las dos masas si el coeficiente de fricción cinética entre el plano inclinado y la masa m1 es igual a 0.4.
b) Encuentra la magnitud de la tensión en la cuerda.
Solución
Un sistema de cuerda, polea y plano inclinado con fuerzas

a)
1) Diagrama de cuerpo libre de m1
     W1 + N + Fk + T = (m1|a| , 0) (segunda ley de Newton ecuación vectorial), donde |a| es la magnitud de la aceleración
donde
     W1 = (W1x, W1y) = (-|W1|sen28° , -|W1|cos28°) , peso del bloque 1
     N = ( 0 , |N|) , fuerza normal
     Fk = (-μk |N| , 0) , fuerza de fricción opuesta al movimiento asumiendo que m1 se mueve hacia arriba
     T = (|T| , 0) , tensión de la cuerda.
Reescriba la ecuación anterior usando componentes
     (-|W1|sen28° , -|W1|cos28°) + ( 0 , |N|) + (-μk |N| , 0) + (|T| , 0) = (m1|a| , 0)
igualdad de componentes x
     -|W1|sen28° + 0 - μk |N| + |T| = m1|a| , ecuación (1)
igualdad de componentes y
     - |W1|cos28° + |N| = 0 lo que da |N| = |W1|cos28° , ecuación (2)
2) Diagrama de cuerpo libre de m2
     W2 + T ' = (0 , - m2|a|) , donde |a| es la magnitud de la aceleración.
donde
     W2 = (0 , -|W2|) , peso de m2
     T ' = (0 , |T '|) , tensión de la cuerda
reescriba la ecuación anterior usando componentes
     (0 , -|W2|) + (0 , |T '|) = (0 , - m2|a|)
componentes y iguales
     - |W2| + |T '| = -m2|a| o |T '| = |W2| - m2|a| , ecuación (3)
Ahora utilizamos el hecho de que la tensión en la cuerda es la misma en magnitud, por lo tanto
     |T '| = |T| = |W2| - m2|a|
Sustituya |T| por |W2| - m2|a| y |N| por |W1|cos28° en la ecuación (1) para obtener
     - |W1|sen28° - μk |W1|cos28° + |W2| - m2|a| = m1|a|
     |a| (m1 + m2) = |W2| - |W1|sen28° - μk |W1|cos28°;
     |a| = g (m2 - m1 sen28° - m1 μk cos28°) / (m1 + m2)
Aplicación numérica con m1 = 10 Kg y m2 = 30 Kg y μk = 0.4 , g = 10 m/s2
     |a| = 10 (30 - 10(sen28° + 0.4 cos28°)) / (10 + 30) ≈ 5.4 m/s2
b)
     |T'| = |T| = |W2| - m2|a| = m2 g - m2 |a| = 30(10 - 5.4) ≈ 138 N