Apertura Numérica de Fibras Ópticas

¿Qué es la Apertura Numérica de una Fibra Óptica?

El sistema de fibra óptica que se muestra a continuación tiene un núcleo con un índice de refracción n1 y un revestimiento con un índice de refracción n2 tal que n1 > n2. Para que un rayo de luz se refleje internamente en la interfaz del núcleo-revestimiento, el ángulo de incidencia θ debe ser mayor que el ángulo crítico θc dado por Fórmula del Ángulo Crítico
Apertura Numérica de una Fibra Óptica

Cuando un rayo de luz incide desde el exterior (lado izquierdo del diagrama) con un índice de refracción n en un ángulo α en la interfaz exterior-núcleo, será refractado en un ángulo β dentro del núcleo de la fibra y ambos ángulos están relacionados por la ley de Snell como sigue \( \)\( \)\( \) \[ n \sin\alpha = n_1 \sin\beta \] Pero los ángulos θ y β son complementarios; por lo tanto \[ \cos\theta = \sin\beta \] lo que da la ecuación \[ n \sin\alpha = n_1 \cos\theta \] Resuelve la ecuación anterior para θ \[ \theta = cos^{-1} \left( \dfrac{n \sin \alpha}{n_1} \right) \] Para tener reflexión interna total en la interfaz núcleo-revestimiento, el ángulo θ debe ser mayor que el ángulo crítico θc dado arriba; por lo tanto, la desigualdad \[ \cos^{-1} \left( \dfrac{n \sin \alpha}{n_1} \right) > \sin^{-1} \left(\dfrac{n_2}{n_1} \right) \] Toma el coseno de ambos lados de la desigualdad anterior y cambia el símbolo de la desigualdad porque \( cos(x) \) es una función decreciente en el intervalo \( [0 , \pi/2] \). Por lo tanto \[ \cos \left(\cos^{-1} \left( \dfrac{n \sin \alpha}{n_1} \right) \right) < \cos \left( \sin^{-1} \left(\dfrac{n_2}{n_1} \right) \right) \] Usa las siguientes propiedades de las funciones trigonométricas y sus inversas en la desigualdad anterior \[ \cos(\cos^{-1} x ) = x \text{ y } \cos(\sin^{-1} x ) = \sqrt{1 - x^2} \] para simplificar y obtener \[ \dfrac{n \sin \alpha}{n_1} < \sqrt{1-\dfrac{n_2^2}{n_1^2}} \] Multiplica ambos lados de la desigualdad por \( n_1 / n \) y simplifica \[ \sin \alpha < \dfrac{1}{n} \sqrt{n_1^2-n_2^2} \] Toma el \( sin^{-1} \) (seno inverso) de ambos lados para obtener \[ \alpha < \sin^{-1} \left (\dfrac{1}{n} \sqrt{n_1^2-n_2^2} \right) \] La cantidad \[ A.N = \sqrt{n_1^2-n_2^2} \] se llama apertura numérica y \[ \alpha_{max} = \sin^{-1} \left (\dfrac{1}{n} \sqrt{n_1^2-n_2^2} \right) \] se llama el ángulo de aceptación, que es el ángulo más grande α para el cual la luz se refleja totalmente en la interfaz núcleo-revestimiento y, por lo tanto, es guiada a lo largo de la fibra.


Problemas con Soluciones sobre la Apertura Numérica de Sistemas de Fibras Ópticas

En este sitio se incluye una calculadora de apertura numérica de fibras ópticas que puede usarse para verificar los cálculos en los siguientes problemas.

Problema 1

let n = 1, n1 = 1.46 y n2 = 1.45 en el diagrama del sistema de fibra óptica anterior. Encuentra
a) el ángulo crítico θc en la interfaz núcleo - revestimiento.
b) la apertura numérica N.A. de la fibra óptica.
c) el ángulo de aceptación αmax del sistema de fibra óptica.
Solución al Problema 1
a) θc = sin-1 (n2 / n1) = sin-1 (1.45 / 1.46) = 83.29 °
b) N.A. = √(n21 - n22) = √(1.462 - 1.452) = 0.17
c) αmax = sin-1√(1.462 - 1.452) = 9.82 °


Problema 2

Usamos los mismos valores para n, n1 y n2 en el diagrama del sistema de fibra óptica anterior que los utilizados en el problema 1. Sea el ángulo de incidencia de un rayo de luz en la interfaz exterior - núcleo α = 5°. Encuentra
a) el ángulo de refracción β en la interfaz exterior - núcleo.
b) el ángulo θ.
c) y explica por qué este rayo de luz será reflejado en la interfaz núcleo - revestimiento y, por lo tanto, guiado a lo largo de la fibra.
Solución al Problema 2
a) El ángulo β se encuentra utilizando la ley de Snell en la interfaz exterior - núcleo de la siguiente manera:
n sin(α) = n1 sin(β)
Sustituyendo los parámetros dados del problema 1 para obtener
β = sin-1 (sin(5°) / n1) = 3.42 °
b) El ángulo θ es complementario al ángulo β, por lo tanto
θ = 90 - 3.42 = 86.58 °
c) El ángulo de incidencia θ = 86.58 ° en la interfaz núcleo - revestimiento es mayor que el ángulo crítico θc = 83.29 ° calculado en el problema 1 y, por lo tanto, será completamente reflejado en esta interfaz y guiado a lo largo de la fibra.
Por supuesto, podríamos haber respondido esta pregunta diciendo que como el ángulo α = 5° es menor que αmax = 9.82 ° calculado en el problema 1, el rayo de luz dado será reflejado en la interfaz núcleo - revestimiento. Sin embargo, la idea detrás de este problema es obtener una mejor comprensión del concepto de apertura numérica y ángulo de aceptación de los sistemas de fibra óptica utilizando valores numéricos y cálculos en cada interfaz.


Problema 3

Sea n = 1 y n1 = 1.48 en el diagrama del sistema de fibra óptica anterior. Encuentra n2 tal que los rayos de luz incidentes con un ángulo α mayor que 12 ° no sean reflejados en la interfaz núcleo - revestimiento y, por lo tanto, no sean guiados a lo largo del sistema de fibra óptica.
Solución al Problema 3
En este problema, se nos da αmax = 12 ° dada por la fórmula:
αmax = sin-1(√(n12 - n22)/ n)
Esto es equivalente a
sin(αmax) = √(n12 - n22)/ n
Sustituimos αmax, n y n1 por los valores dados y calculamos n2:
n22 = n12 - sin2max)
n2 = √(1.482 - sin2(12°)) = 1.465


Problema 4

Sea n = 1 en el diagrama del sistema de fibra óptica anterior. Encuentra n1 y n2 tal que la aceptación αmax = 10° y el ángulo crítico en la interfaz núcleo - revestimiento θc = 82 °.
Solución al Problema 4
En este problema, se nos da αmax y θc cuyas fórmulas se dan por
\( \alpha_{max} = \sin^{-1} \left (\dfrac{1}{n} \sqrt{n_1^2-n_2^2} \right) \) y \(\theta_c = \sin^{-1} \left(\dfrac{n_2}{n_1} \right) \)
Tomamos el seno de ambos lados en la fórmula de \( \alpha_{max} \)
\( \sin \left(\alpha_{max}\right) = \sin \left(\sin^{-1} \left (\dfrac{1}{n} \sqrt{n_1^2-n_2^2} \right) \right) \)
Simplificamos utilizando la identidad \( \sin (\sin^{-1} (x)) = x \)
\( \sin \left(\alpha_{max}\right) = \dfrac{1}{n} \sqrt{n_1^2-n_2^2} \)
Cuadramos ambos lados para obtener
\(\sin^2\alpha_{max} = \left (\dfrac {n_1^2-n_2^2} {n^2} \right) \)
Tomamos el seno de ambos lados en \(\theta_c = \sin^{-1} \left(\dfrac{n_2}{n_1} \right) \) y simplificamos para obtener
\(\sin \theta_c = \left(\dfrac{n_2}{n_1} \right) \)
Sustituimos los valores conocidos para obtener las ecuaciones
\(n_1^2-n_2^2 = n^2 \sin^2 \alpha_{max} \quad\quad (ecuación 1) \)
\(\dfrac{n_2}{n_1} = \sin \theta_c \quad\quad (ecuación (2) \)
La ecuación (2) nos da
\(n_2 = n_1 \sin \theta_c \)
Sustituimos lo anterior en la ecuación (1) y resolvemos para n1 y n2:
\(n_1^2- (n_1 \sin \theta_c )^2 = n^2 \sin^2 \alpha_{max} \)
Reescribimos lo anterior como
\(n_1^2(1 - \sin^2 (\theta_c)) = n^2 \sin^2 \alpha_{max} \)
Resolvemos para \(n_1^2 \)
\(n_1^2 = \dfrac{\sin^2 \alpha_{max} }{1 - \sin^2 \theta_c} = n^2 \dfrac{\sin^2 \alpha_{max}}{ \cos^2 \theta_c } \)
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados
\(n_1 = \dfrac{n\sin \alpha_{max} }{ \cos (\theta_c)} \)
Usamos la ecuación 2 para encontrar
\(n_2 = n_1 \sin \theta_c = \dfrac{n \sin(\alpha_{max})}{ \cos \theta_c} \sin \theta_c = n \sin \alpha_{max} \tan \theta_c \)
Sustituimos n, θc y αmax por sus valores para obtener valores numéricos para n1 y n2.
\(n_1 = \dfrac{\sin 10^{\circ} }{ \cos 82^{\circ}} = 1.2477 \)
y
\(n_2 = \tan 82^{\circ} \sin 10^{\circ} = 1.2355 \)


Más Referencias y Enlaces

Fibras Ópticas.
Calculadora de apertura numérica de fibras ópticas
Reflexión Total Interna de Rayos de Luz en una Interfaz.
Refracción de Rayos de Luz, Ejemplos y Soluciones.