Se presentan problemas de gravedad junto con soluciones detalladas.
Problema 1:
Se deja caer un objeto, sin velocidad inicial, sobre la superficie del planeta Big Alpha y cae 13.5 metros en 3 segundos. El radio del planeta Big Alpha es de 5.82×106 metros.
a) ¿Cuál es la aceleración del objeto en caída libre?
b) ¿Cuál es la masa del planeta Big Alpha?
Solución al Problema 1:
a) Dada la distancia y el tiempo, podemos calcular la aceleración a usando la fórmula de distancia para el movimiento uniformemente acelerado como sigue:
d = (1/2) a t2
a = 2 d / t2 = 2 × 13.5 / 32 = 3 m/s2
b)
Sea R el radio y mb la masa del planeta Big Alpha, y mo la masa del objeto. La aceleración se debe a la fuerza de gravedad universal, por lo tanto, la fuerza de gravedad universal y la segunda ley de Newton nos dan:
G mb mo / R2 = mo a
Simplificamos para obtener:
mb = a R2 / G = 3 (5.82×106)2 / (6.674×10-11) = 1.52×1024 kg
Problema 2:
Un objeto se deja caer, sin velocidad inicial, cerca de la superficie del planeta Manta y alcanza una velocidad de 21 metros/segundos en 3.0 segundos. El planeta Manta tiene una masa de 2.3 × 1023 kg.
a) ¿Cuál es la aceleración que actúa sobre el objeto?
b) ¿Cuál es el radio del planeta Manta?
Solución al Problema 2:
a) Dada la velocidad y el tiempo, podemos calcular la aceleración a usando la fórmula de la velocidad para el movimiento uniformemente acelerado como sigue:
v = a t
a = v / t = 21 / 3 = 7 m/s2
b)
Sea R el radio y mm la masa del planeta Manta, y mo la masa del objeto. La aceleración se debe a la fuerza de gravedad universal, por lo tanto, la fuerza de gravedad universal y la segunda ley de Newton nos dan:
G mm mo / R2 = mo a
Simplificamos para obtener:
R2 = G mm / a
R = √ ( G mm / a ) = √ [ ( 6.674×10-11)(2.3 × 1023) / 7 ] = 1.48 × 106 m
Problema 3:
Un satélite de 1500 kg orbita la Tierra a una altitud de 2.5×106 m.
a) ¿Cuál es la velocidad orbital del satélite?
b) ¿Cuál es el período del satélite?
c) ¿Cuál es la energía cinética del satélite?
Solución al Problema 3:
a) Para que el satélite esté y permanezca en órbita, las fuerzas centrípeta Fc y universal Fu deben ser iguales en magnitud.
Fc = m v2 / R , v es la velocidad orbital del satélite, m la masa del satélite y R el radio orbital.
R = Radio de la Tierra + altitud = 6.4×106 m + 2.5×106 m = 6.9×106 m
Fu = G M m / R2, donde M es la masa de la Tierra.
G M m / R2 = m v2 / R
Simplificamos para obtener:
v = √ (G M / R) = √ [ (6.67×10-11)(5.96×1024)/(6.9×106) ] = 7590 m/s
b)
El período T es el tiempo que tarda el satélite en completar una rotación alrededor de la Tierra. Entonces:
T = 2πR / v = 2π×6.371×106 / 7590 = 5274 s
c)
La energía cinética Ek del satélite está dada por:
Ek = (1 / 2) m v2 = (1/2) × 1500 × 75902 = 4.32 × 1010 J
Problema 4:
La fuerza de gravedad que actúa sobre un objeto en la superficie de Marte es de 20 N. ¿Qué fuerza de gravedad actuará sobre el mismo objeto en la superficie de la Tierra? (usar la intensidad del campo gravitatorio g = 9.8 N/Kg en la superficie de la Tierra).
Solución al Problema 4:
Sea la intensidad del campo gravitatorio en Marte gm y en la Tierra g, y m la masa del objeto. La aceleración es debida a la fuerza universal de la gravedad, por lo tanto, la segunda ley de Newton y la fuerza de gravedad universal son iguales.
m gm = G M m / Rm2 , en la superficie de Marte
Simplificar para obtener
gm = G M / Rm2
donde M (= 6.39 × 1023kg) es la masa de Marte, Rm (= 3.39 × 106m) es el radio de Marte.
En la superficie de Marte
F = m gm y F = 20 N
m = F / gm = 20 / gm
En la superficie de la Tierra
Fe = g m = 9.8 × F / gm
= 9.8 × 20 / (G M / Rm2) = 9.8×20 × Rm2 / (G M)
= 9.8×20 × (3.39 × 106)2 / (6.674 × 10-11 × 6.39 × 1023) = 53 N
Problema 5:
Un satélite de 500 kg fue originalmente colocado en una órbita de radio de 24,000 km y un período de 31 horas alrededor del planeta Barigou.
a) Expresa la masa de este planeta en términos de la constante universal G, el radio R y el período T.
b) El satélite luego fue colocado en su órbita final de radio de 10,000 km. ¿Cuál fue su nuevo período?
c) ¿Cuál es el cambio en la energía cinética del satélite desde la primera hasta la segunda órbita?
Solución al Problema 5:
a)
Sea M la masa del planeta y m (=500 Kg) la masa del satélite. Orbitar significa que la fuerza gravitacional universal y las fuerzas centrípetas son iguales.
G M m / R2 = m v2 / R , v es la velocidad orbital del satélite
Simplifica: M = R v2 / G
v = 2πR / T
M = R (2πR / T)2 / G = 4π2 R3 / (G T2)
b)
Sean T1 y T2 los períodos del satélite en R1 = 24,000,000 y R2 = 10,000,000 m respectivamente. A partir de la última ecuación, podemos escribir:
T12 = 4π2 R13 / (M G) y T22 = 4π2 R23 / (M G)
Divide ambos lados de las ecuaciones anteriores y simplifica para obtener:
T22 / T12 = R23 / R13
Por lo tanto:
T2 = √ ( T12 R23 / R13 ) = T1 (R2 / R1 )3/2 = 8.34 horas
c)
Sea Ek1 y Ek2 las energías cinéticas del satélite y v1 y v2 las velocidades orbitales en las primeras y segundas órbitas respectivamente.
Ek1 = (1/2) m v12 = (1/2) 500 (2πR1 / T1)2
Ek2 = (1/2) m v22 = (1/2) 500 (2πR2 / T2)2
Ek2 - Ek1 = 1000 π2 [(R2 / T2)2 - (R1 / T1)2 ] = 1000 π2 [ (10×106 / (8.34×60×60))2 - (24×106 / (31×60×60))2 ] = 2.30 × 1012 J
Problema 6:
Un satélite de 1000 Kg está en órbita sincrónica alrededor del planeta Tierra. El período de esta órbita sincrónica coincide con la rotación de la Tierra alrededor de su eje, asumida como 24 horas, de modo que el satélite parece estacionario.
a) ¿Cuál es el radio orbital del satélite?
b) ¿Cuál es la altitud del satélite?
c) ¿Cuál es la energía cinética del satélite?
Solución al Problema 6:
a)
Sea M la masa del planeta y m la masa del satélite. Orbitar significa que las fuerzas gravitacional universal y centrípeta son iguales.
G M m / R2 = m v2 / R , v es la velocidad orbital del satélite y R el radio orbital.
v = 2πR / T
G M m / R2 = m (2πR / T)2 / R
Resolver para obtener: R3 = M G T2 / (4π2)
R = [ M G T2 / (4π2) ]1/3 = [ 5.96×1024 × 6.67×10-11(24×60×60)2 / (4π2) ]1/3 = 42,211 km
b)
El radio de la Tierra es 6371 km, por lo tanto, la altitud h del satélite es:
h = 42,211 - 6371 = 35,840 km
c)
La energía cinética Ek del satélite está dada por:
Ek = (1/2) m v2 = (1/2) 1000 (2πR / T)2 = (1/2) 1000 (2π × 42,211,000 / (24 × 60 × 60))2 = 4.7 ×109 J
Problema 7:
La energía potencial gravitatoria de un satélite de 500 kg, que orbita alrededor de un planeta con una masa de 4.2 × 1023 kg, es -4.8 × 109 J.
a) ¿Cuál es el radio orbital de este satélite?
b) ¿Cuál es la energía cinética de este satélite?
c) ¿Cuál es la energía total de este satélite?
d) ¿Cuál es la velocidad orbital de este satélite?
Solución al Problema 7:
a)
Usa la fórmula de la energía potencial Ep = - G M m / R.
- 4.8 × 109 = - G M m / R
o
G M m / R = 4.8 × 109
Resuelve para R:
R = G M m / 4.8 × 109 = 6.67×10-11 × 4.2 × 1023 × 500 / 4.8 × 109 = 2,919 km
b)
La energía cinética Ek está dada por:
Ek = (1/2) m v2 , donde v es la velocidad orbital del satélite.
La igualdad de las fuerzas centrípeta y gravitacional da:
G M m / R2 = m v2 / R
La ecuación anterior puede escribirse como: m v2 = G M m / R
y
Ek = (1/2) m v2 = (1/2) G M m / R = (1/2) 4.8 × 109 = 2.4 × 109 J
c)
La energía total Et está dada por:
Et = Ep + Ek = -4.8 × 109 + 2.4 × 109 J = -2.4 × 109 J
d)
Usa la energía cinética (1/2) m v2 encontrada anteriormente:
(1/2) m v2 = 2.4 × 109 J
v2 = 2 × 2.4 × 109 / m
v = (2 × 2.4 × 109 / 500)1/2 = 3,098 m/s
Problema 8:
¿Cuál es el período de un satélite que orbita la Luna a una altitud de 5.0 × 103 km?
Solución al Problema 8:
Sea M la masa de la Luna y m la masa del satélite. Orbitar significa que la fuerza gravitacional universal y las fuerzas centrípetas son iguales.
G M m / R2 = m v2 / R , v es la velocidad orbital del satélite y R el radio orbital.
v = 2πR / T , donde T es el período.
G M m / R2 = m (2πR / T)2 / R
Resuelve para T para obtener
T = [ 4π2 R3 / G M]1/2
T = [ 4π2 (5×106)3 / (6.67×10-11×7.35×1022)]1/2 = 8.81 horas
Problema 9:
¿Cuál es la aceleración en la superficie de la Luna?
Solución al Problema 9:
La aceleración gm en la superficie de la Luna se debe a la fuerza gravitacional universal, por lo tanto, la segunda ley de Newton y la fuerza gravitacional universal son iguales.
gm m = G M m / R2 , donde m es la masa de cualquier objeto en la superficie de la Luna, M es la masa de la Luna y R es el radio de la Luna.
Resuelve para gm
gm = G M / R2 = 6.67×10-11×7.35×1022 / 1,737,0002 = 1.62 m/s2
Problema 10:
El Telescopio Espacial Hubble orbita la Tierra a una altitud de 568 km.
a) ¿Cuál es la velocidad orbital del telescopio?
b) ¿Cuál es el período del telescopio?
Solución al Problema 10:
a) Sea M la masa del planeta y m la masa del telescopio. Orbitar significa que la fuerza gravitacional universal y las fuerzas centrípetas son iguales.
G M m / R2 = m v2 / R , v es la velocidad orbital del telescopio y R su radio orbital.
Resuelve para v:
v = ( G M / R)1/2 = ( 6.67×10-11 × 5.96 × 1024 / (568× 103 + 6,400× 103) )1/2 = 7553 m/s
b) v = 2πR / T
T = 2πR / T = 2π(568× 103 + 6,400× 103) / 7553 = 5796 s = 96.6 minutos