Fórmulas para Vectores

Se presentan algunas de las fórmulas más importantes para vectores, como la magnitud, la dirección, el vector unitario, suma, resta, multiplicación escalar y producto cruzado.

Vector Definido por dos Puntos

Los componentes de un vector \( \vec {PQ} \) definido por dos puntos \( P(P_x \;, \; P_y \;, \; P_z )\) (punto inicial) y \( Q(Q_x \;, \; Q_y \;, \; Q_z )\) (punto terminal) son los siguientes: \[ \vec{PQ} = \;< Q_x - P_x \;, \; Q_y - P_y \;, \; Q_z - P_z > \]

En lo que sigue, \( \vec A, \vec B \) y \( \vec C \) son vectores tridimensionales dados por sus componentes de la siguiente manera:
\( \vec A = \; < A_x \;, \; A_y \;, \; A_z > \)
\( \vec B = \; < B_x \;, \; B_y \;, \; B_z > \)
\( \vec C = \; < C_x \;, \; C_y \;, \; C_z > \)

Magnitud de un Vector

La magnitud del vector \( \vec A \), escrita como \( |\vec A| \), se define por
\[ |\vec A| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \]

Vector Unitario

Un vector unitario es un vector cuya magnitud es igual a 1.
El vector unitario \( \vec u \) que tiene la misma dirección que el vector \( \vec A \) se da por:
\[ \vec u = \dfrac{\vec A}{|\vec A|} = \; < \dfrac{A_x}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} \;, \; \dfrac{A_y}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} \;,\; \dfrac{A_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} > \]

Dirección de un Vector

En un espacio tridimensional, la dirección de un vector se define por tres ángulos \( \alpha \), \( \beta \) y \( \gamma\) (ver Figura 1 a continuación) llamados cosenos directores.

cosenos directores de un vector 3D
Figura 1. - Cosenos directores de un vector.
Estos son los ángulos entre el vector y los ejes positivos x, y y z respectivamente de un sistema rectangular. El coseno de estos ángulos, para el vector \( \vec A \), se da por:
\[ \cos (\alpha) = \dfrac{A_x}{|\vec A|} = \dfrac{A_x}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} \] \[ \cos (\beta) = \dfrac{A_y}{|\vec A|} = \dfrac{A_y}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} \] \[ \cos (\gamma) = \dfrac{A_z}{|\vec A|} = \dfrac{A_z}{\sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}} \]

En 2-D, la dirección de un vector se define como un ángulo (ángulo \( \theta \) en la figura a continuación) que un vector forma con el eje positivo x.

ángulo de un vector 2D
Figura 2. - Ángulo de un vector 2-D.
El vector \( \vec A = \; < A_x \;, \; A_y > \) se da por \[ \theta = \arctan (\dfrac{A_y}{A_x}) \] teniendo en cuenta los signos de \( A_x \) y \( A_y \) para determinar el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del vector.

Operaciones con Vectores

Producto Escalar de Vectores

Definición

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores \( \vec A \) y \( \vec B \) se define por \[ \vec A \cdot \vec B = |\vec A| \cdot |\vec B| \cdot\cos \theta \] donde \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \vec A \) y \( \vec B \).
Dadas las coordenadas de los vectores \( \vec A \) y \( \vec B \), se puede demostrar que \[ \vec A \cdot \vec B = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z \]

Propiedades del Producto Escalar

\[ \vec A \cdot \vec B = \vec B \cdot \vec A \] \[ \vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C \] \[ k \vec A \cdot (\vec B)= k (\vec A \cdot \vec B) \]

Vectores Ortogonales

Dos vectores \( \vec A \) y \( \vec B \) son ortogonales, es decir, el ángulo \( \theta \) entre ellos es igual a \( 90^{\circ} \), si y solo si \[ \vec A \cdot \vec B = |\vec A| \cdot |\vec B| \cdot \cos \theta = |\vec A| \cdot |\vec B| \cdot \cos 90^{\circ} = 0\]

Ángulo Entre Dos Vectores

Si \( \theta \) es el ángulo formado por dos vectores \( \vec A \) y \( \vec B \), entonces \[ \cos \theta = \dfrac{\vec A \cdot \vec B}{ |\vec A|\cdot |\vec B|} = \dfrac{A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z}{ \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \cdot\sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}} \]

Producto Cruzado

El producto cruzado de dos vectores \( \vec A \) y \( \vec B \) es un vector ortogonal a ambos vectores y se define por
\[ \vec A \times \vec B = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix} \\ = (A_y B_z - A_z B_y ) \vec i - (A_x B_z - A_z B_x) \vec j + (A_x B_y - A_y B_x) \vec k\]

Propiedades del Producto Cruzado

\[ \vec A \times \vec B = - \vec B \times \vec A \] \[ (k \vec A) \times \vec B = \vec A \times (k \vec B ) = k( \vec A \times \vec B) \] El producto cruzado es un vector, y puede ser necesario, como en electromagnetismo y muchos otros temas de física, encontrar la orientación de este vector. Usa la regla de la mano derecha para encontrar la orientación del producto cruzado: apunta el índice en la dirección del vector A, el dedo medio en la dirección del vector B y la dirección del producto cruzado \( \vec A \times \vec B \) está en la misma dirección del pulgar. regla de la mano derecha para el producto cruzado

Significado Geométrico del Producto Cruzado

El área de un paralelogramo definido por los vectores \( \vec A \) y \( \vec B \) es la magnitud de su producto cruzado, dada por: Paralelogramo Formado por Dos Vectores \[ \text{Área del Paralelogramo} = |\vec A \times \vec B| = |\vec A | \cdot |\vec B| \cdot |\sin \theta|\]