Vectores Paralelos y Perpendiculares

Se presentan las definiciones de vectores paralelos y perpendiculares junto con preguntas y soluciones detalladas. Las preguntas involucran encontrar vectores dados sus puntos iniciales y finales, el producto escalar de vectores y otros conceptos que pueden encontrarse entre las fórmulas para vectores .

Vectores Paralelos

\( \) \( \)\( \) \( \)

Dos vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son paralelos si y solo si son múltiplos escalares uno del otro:
\[ \vec{A} = k \; \vec{B} \] donde \( k \) es una constante distinta de cero.
Sea \( \vec{A} = \; < A_x \;,\; A_y > \) y \( \vec{B} = \; < B_x \;,\; B_y > \)
Los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son paralelos si y solo si \( \vec{A} = k \vec{B} \).
Usando los componentes, reescribimos lo anterior como \[ < A_x \;,\; A_y > \; = \; k < B_x \;,\; B_y > \; = \; < k B_x \;,\; k B_y > \]
\( A_x = k B_x \) y \( A_y = k B_y \)
Lo anterior también se puede escribir como
\( \dfrac{A_x}{B_x} = k \) y \( \dfrac{A_y}{B_y} = k \)
Las condiciones bajo las cuales los vectores \( \vec{A} = \; < A_x \;,\; A_y > \) y \( \vec{B} = \; < B_x \;,\; B_y > \) son paralelos se dan por
\[ \dfrac{A_x}{B_x} = k \; \text{y} \; \dfrac{A_y}{B_y} = k \] o \[ \dfrac{A_x}{B_x} = \dfrac{A_y}{B_y} \] o \[ A_x \cdot B_y = A_y \cdot B_x \]


Vectores Perpendiculares

Dos vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero.
\( \vec{A} = \; < A_x \;,\; A_y > \) y \( \vec{B} = \; < B_x \;,\; B_y > \)
Los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son perpendiculares si y solo si \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) = 0
Usando los componentes, escribimos
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y\)
Por lo tanto, los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son perpendiculares si y solo si \[ A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y = 0 \]


Pregunta 1

¿Cuáles de los siguientes vectores son paralelos?
\( \vec{A} = \; < 2 \;,\; -3 > \) , \( \vec{B} = \; < -6 \;,\; 9 > \) , \( \vec{C} = \; < -1 \;,\; -2 > \) ?
Solución a la Pregunta 1
La condición para que dos vectores \( \vec{A} = \; < A_x \;,\; A_y > \) y \( \vec{B} = \; < B_x \;,\; B_y > \) sean paralelos es: \[ A_x \cdot B_y = A_y \cdot B_x \]
Primero probemos con los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \).
\( A_x \cdot B_y = (2)(9) = 18 \)
\( A_y \cdot B_x = (-6)(-3) = 18 \)
Por lo tanto, \( A_x \cdot B_y = 18 = A_y \cdot B_x \), por lo que los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son paralelos.
Ahora probemos con los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{C} \)
La condición para que \( \vec{A} = \; < A_x \;,\; A_y > \) y \( \vec{C} = \; < C_x \;,\; C_y > \) sean paralelos es: \[ A_x \cdot C_y = A_y \cdot C_x \]
\( A_x \cdot C_y = (2)(-2) = -4 \)
\( A_y \cdot C_x = (-3)(-1) = 3 \)
Podemos ver que \( A_x \cdot C_y \ne A_y \cdot C_x \), por lo que los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{C} \) no son paralelos.
Los vectores \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) no son paralelos (no es necesario probar, ya que \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) son paralelos).


Pregunta 2
Encuentra el número real \( a \) para que los vectores \( \vec{A} = \; < 2a \;,\; 16> \) y \( \vec{B} = \;< 3 a+2 \;, \;-2 > \) sean perpendiculares.
Solución a la Pregunta 2
La condición para que dos vectores \( \vec{A} = \; < A_x \;,\; A_y > \) y \( \vec{B} = \; < B_x \;,\; B_y > \) sean perpendiculares es: \[ A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y = 0 \]
Reescribe la condición anterior utilizando los componentes de los vectores y obtendremos la ecuación
\( 2a(3a + 2)+ 16(-2) = 0 \)
Expande y reorganiza para obtener la ecuación cuadrática
\( 3 a^2 + 2 a - 16 = 0 \)
Resuelve la ecuación para encontrar
\( a = 2 \) y \( a = -8 / 3 \)
Los vectores \( \vec{A} = < 2a , 16> \) y \( \vec{B} = < 3 a + 2 , -2 > \) son perpendiculares para \( a = 2 \) y \( a = - 8 / 3 \).


Pregunta 3
Encuentra el número real \( k \) para que los puntos \( A(-2 \;,\; k), B(2 \;,\; 3) \text{ y } C(2k \;,\; -4) \) sean los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en el punto \( B \).
Solución a la Pregunta 3
El triángulo \( ABC \) es un triángulo rectángulo en \( B \) si y solo si los vectores \( \vec{BA} \) y \( \vec{BC} \) son perpendiculares. Y dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero.
Primero encontramos los componentes de los vectores \( \vec{BA} \) y \( \vec{BC} \) dados los puntos de coordenadas.
\( \vec{BA} = < -2 - 2 ,\;,\; k - 3 > = < -4 \;,\; k - 3 > \)
\( \vec{BC} = < 2k - 2 \;,\; -4 - 3 > = < 2k - 2 ,\;,\; -7 > \)
El producto escalar \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0 \) se escribe usando los componentes de los dos vectores
\( (-4)(2k - 2) + (k - 3)(-7) = 0 \)
Expande, simplifica y resuelve para \( k \)
\( k = - 13 \)


Pregunta 4
Encuentra la ecuación del círculo con diámetro \( AB \) donde \( A(2 \;,\; -2) \) y \( B(4 \;,\; -3) \).
Solución a la Pregunta 4
De acuerdo con el teorema de Thales , para que el punto \( M(x \;,\; y) \) esté en el círculo definido por su diámetro \( AB \), el triángulo \( AMC \) debe ser un triángulo rectángulo con el ángulo recto en \( M \).
El triángulo \( AMC \) es rectángulo en el punto \( M \) si y solo si el producto escalar \( \vec{MA} \cdot \vec{MB} \) es igual a cero.
Primero, encontremos los componentes de los vectores \( \vec{MA} \) y \( \vec{MB} \) dados los puntos \( A(2 \;,\; -2) \), \( B(4 \;,\; -3) \) y \( M(x \;,\; y) \).
\( \vec{MA} = < 2 - x \;,\; -2 - y > \)
\( \vec{MB} = < 4 - x \;,\; -3 - y > \)
El producto escalar \( \vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0 \) se escribe usando los componentes de los dos vectores
\( (2 - x)(4 - x) + (-2 - y)(-3 - y) = 0 \)
Expande y simplifica para obtener la ecuación del círculo
\( x^2 - 6x + y^2 + 5y + 14 = 0 \)


Pregunta 5
Dado el vector \( \vec{u} = < 2 \;,\; -5> \), encuentra.
a) la ecuación de la recta que pasa por el punto \( A(1 \;,\; 1) \) y es paralela al vector \( \vec{u} \).
b) la ecuación de la recta que pasa por el punto \( B(-2 \;,\; -3) \) y es perpendicular al vector \( \vec{u} \).
Solución a la Pregunta 5
a)
El punto \( M(x \;,\; y) \) está en la recta que pasa por el punto \( A(1 \;,\; 1) \) y es paralela al vector \( \vec{u} = < 2 \;,\; -5> \) si y solo si los vectores \( \vec{AM} \) y \( \vec{u} \) son paralelos.
Primero encontramos los componentes del vector AM.
\( \vec{AM} = \; < x - 1 \;,\; y - 1 > \)
Los vectores \( \vec{AM} = \; < x - 1 \;,\; y - 1 > \) y \( \vec{u} = < 2 \;,\; -5> \) son paralelos si y solo si
\( (x - 1) (-5) = (2)(y - 1) \) Expande y simplifica para obtener la ecuación de la recta
\( 5 x + 2 y = 3 \)
b)
Un punto \( M(x , y) \) está en la recta que pasa por el punto \( B(-2 , -3) \) y es perpendicular al vector \( \vec{u} = < 2 , -5> \) si y solo si los vectores \( \vec{BM} \) y \( \vec{u} \) son perpendiculares.
Primero encontramos los componentes del vector \( \vec{BM} \).
\( \vec{BM} = < x - (-2) , y - (-3) > = < x + 2 , y + 3 > \)
Los vectores \( \vec{BM} = < x + 2 , y + 3 > \) y \( \vec{u} = < 2 , -5> \) son perpendiculares si y solo si
\( (x + 2) (2) + (y + 3)(-5) = 0 \) Expande y simplifica para obtener la ecuación de la recta
\( 2 x - 5 y = 11 \)


Pregunta 6
Encuentra la ecuación de las tangentes que pasan por el punto \( D(2 \;,\; 4) \) al círculo con centro en \( C(0 \;,\; 0) \) y radio 2.
Solución a la Pregunta 6
Desde el punto \( D \), fuera del círculo, se pueden encontrar dos tangentes que pasan por \( D \) hacia el círculo con centro en \( C \) (ver figura 1 abajo).

tangente a un círculo
Figura 1. - Tangente a un círculo desde un punto exterior.
Dos condiciones para que el punto \( T \) sea el punto de tangencia:
1) Los vectores \( \vec{TD} \) y \( \vec{TC} \) son perpendiculares.
2) La magnitud (o longitud) del vector \( \vec{TC} \) es igual al radio.
Sea \( a \) y \( b \) las coordenadas de \( T \).
Los vectores \( \vec{TD} \) y \( \vec{TC} \) son dados por sus componentes como sigue:
\( \vec{TD} = < 2 - a \;,\; 4 - b > \)
\( \vec{TC} = < 0 - a \;,\; 0 - b > \)
Ahora usamos la condición 1) anterior: dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero. Por lo tanto:
\( < 2 - a \;,\; 4 - b > \cdot < 0 - a \;,\; 0 - b > = 0 \)
Calcula el producto escalar usando las coordenadas:
\( (2 - a) (- a) + (4 - b) (- b) = 0 \)
Expande y simplifica, reescribe la ecuación como: \( a^2 + b^2 - 2a - 4b = 0 \)
A continuación, usamos la condición 2) anterior, usando el cuadrado de la magnitud del vector \( \vec{TC} \), que debe ser igual al cuadrado del radio.
\( (0 - a)^2 + (0 - b)^2 = 2^2 \)
Lo cual puede simplificarse a
\( a^2 + b^2 = 4 \)
Ahora necesitamos resolver las dos ecuaciones dadas por las dos condiciones:
\( a^2 + b^2 - 2a - 4b = 0 \)
y
\( a^2 + b^2 = 4 \)
sustituyendo \( a^2 + b^2 \) por \( 4 \) en la primera ecuación para obtener una nueva ecuación:
\( 4 - 2a - 4b = 0 \)
que puede reescribirse (dividiendo todos los términos por 2) como:
\( 2 - a - 4b = 0 \)
Resuelve la anterior para \( a \) y obtenemos:
\( a = 2 - 2b \)
Ahora sustituimos \( a \) por \( 2 - 2b \) en la ecuación \( a^2 + b^2 = 4 \) para obtener:
\( (2 - 2b)^2 + b^2 = 4 \)
Expande y simplifica:
\( 4 - 8b + 4b^2 + b^2 = 4 \)
\( -8b + 5b^2 = 0 \)
Factorizamos: \( b(-8 + 5b) = 0 \)
Resuelve para \( b \), obtenemos dos soluciones:
\( b = 0 \) y \( b = 8 / 5 \)
Usamos la ecuación \( a = 2 - 2b \) para encontrar los valores correspondientes de \( a \):
para \( b = 0 \), \( a = 2 \)
para \( b = 8 / 5 \), \( a = -6 / 5 \)
Los dos puntos de tangencia son:
\( T_1 = (2 \; , \; 0) \) y \( T_2 = ( - 6 / 5 \; , \; 8 / 5 ) \)
Las ecuaciones de las tangentes son: (encuentra la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos \( T \) y \( D \))
Tangente \( T_1 \):
La tangente que pasa por los puntos \( T_1 = (2 \; , \; 0) \) y \( D(2 \;,\; 4) \) está dada por
\( x = 2 \)
Tangente \( T_2 \):
La tangente que pasa por los puntos \( T_2 = ( - 6 / 5 \; , \; 8 / 5 ) \) y \( D(2 \;,\; 4) \) está dada por
\( - 3 x + 4 y = 10 \)

Más referencias y enlaces