Producto Escalar de Vectores

Se presenta el producto escalar de dos vectores junto con preguntas y soluciones detalladas. También se utilizan algunas de las fórmulas para vectores.

Producto Escalar de Vectores

\( \) \( \)\( \) \( \) El producto escalar (también llamado producto punto y producto interno) de los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) se escribe y define de la siguiente manera

ángulo entre vectores y producto escalar
Fig1. - Ángulo entre vectores y producto escalar.
\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos \theta \] donde \( |\vec{A}| \) es la magnitud del vector \( \vec{A} \), \( |\vec{B}| \) es la magnitud del vector \( \vec{B} \) y \( \theta \) es el ángulo formado por los dos vectores. El resultado de un producto escalar entre dos vectores es una cantidad escalar.
Para vectores dados por sus componentes: \( \vec{A} = < A_x , A_y, A_z > \) y \( \vec{B} = < B_x , B_y, B_z > \), el producto escalar se define como \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z \]
Nota que si \( \theta = 90^{\circ} \), entonces \( \cos(\theta) = 0 \)
Por lo tanto, podemos decir que:

Dos vectores, con magnitudes distintas de cero, son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero.


El producto escalar también puede usarse para encontrar el coseno y, por lo tanto, el ángulo entre dos vectores.
\[ \cos \theta = \dfrac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|} \]


Propiedades del Producto Escalar

1) \( \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \)
2) \( \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C} ) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} \)


Preguntas y Aplicaciones del Producto Escalar

Pregunta 1
Encuentra el número real \( b \) para que los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) dados por sus componentes a continuación sean perpendiculares.
\( \vec{A} = < -2 , -b > \) , \( \vec{B} = < -8 , b > \).
Solución a la Pregunta 1
La condición para que dos vectores \( \vec{A} = < Ax , Ay > \) y \( \vec{B} = < Bx , By > \) sean perpendiculares es que su producto escalar sea igual a cero:
\[ A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y = 0 \]
Sustituye los componentes por sus valores y simplifica.
\( (-2)(-8) + (-b)(b) = 0 \)
\( 16 - b^2 = 0 \)
\( b^2 = 16 \)
Resuelve para \( b \) para encontrar las soluciones:
\( b = 4 \) y \( b = -4 \)
Dos valores \( b = 4\) y \( b = -4\) hacen que los vectores \( \vec{A} = < -2 , -b > \) y \( \vec{B} = < -8 , b > \) sean perpendiculares.


Pregunta 2
Encuentra el ángulo formado por los vectores A y B dados a continuación.
\( \vec{A} = < 2 , 1 , 3 > \) , \( \vec{B} = < 3 , -2 , 1 > \).
Solución a la Pregunta 2
Primero usamos los componentes para encontrar el producto escalar de los dos vectores.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(3)+(1)(-2)+(3)(1) = 7 \)
Luego expresamos el producto escalar usando las magnitudes y el ángulo \( \theta \) formado por los dos vectores.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos \theta = 7 \)
Lo que nos da:
\( \cos \theta = \dfrac{7}{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|} \)
Calcula las magnitudes \( |\vec{A}| \) y \( |\vec{B}| \)
\( |\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \)
\( |\vec{B}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14} \)
\( \cos \theta = \dfrac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \)
Simplifica:
\( \cos \theta = \dfrac{7}{14} = 1/2\)
El ángulo formado por los vectores dados es: \[ \theta = \arccos(1/2) = 60^{\circ} \]


Pregunta 3
Dado el vector \( \vec{U} = < 3 , -7 > \), encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto \( B(2 , 1) \) y es perpendicular al vector \( \vec{U} \).
Solución a la Pregunta 3
Un punto \( M(x , y) \) está en la línea que pasa por el punto \( B(2 , 1) \) y es perpendicular al vector \( \vec{U} = < 3 , -7 > \) si y solo si los vectores \( \vec{BM} \) y \( \vec{U} \) son perpendiculares.
Primero encontremos los componentes del vector \( BM \).
\( \vec{BM} = < x - 2 , y - 1 > \)
Los vectores \( \vec{BM} = < x -2 , y - 1 > \) y \( \vec{U} = < 3 , -7 > \) son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero. Por lo tanto,
\( (x - 2) (3) + (y - 1)(-7) = 0 \)
Expande y simplifica para obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto \( B(2 , 1) \) y es perpendicular al vector \( \vec{U} \).
\[ 3 x - 7 y = - 1 \]


Pregunta 4
Dados los puntos \( A(1 , 2) \) y \( B(-2 , -2) \), encuentra la ecuación de la tangente en el punto \( B \) al círculo con diámetro \( AB \).

tangente a un círculo
Fig1. - Tangente a un círculo.

Solución a la Pregunta 4
Una tangente a un círculo en el punto \( B \) es perpendicular al segmento \( BC \), donde \( C \) es el centro del círculo (ver la figura de la derecha). Cualquier punto \( M(x , y) \) en la tangente es tal que el producto escalar \( \vec{BM} \cdot \vec{BC} \) es igual a cero.
El punto \( C \) es el centro del círculo y, por lo tanto, el punto medio de \( A \) y \( B \). Sus coordenadas son
\( C ( \dfrac{1+(-2)}{2} \; , \; \dfrac{2 + (-2)}{2} ) = C(- \dfrac{1}{2} \; , \; 0) \)
Los vectores \( \vec{BM} \) y \( \vec{BC} \) están definidos por los puntos \( B \), \( M \) y \( C \) y sus componentes son:
\( \vec{BM} \; = \; < x - (-2) , y - (-2) > \; = \; < x + 2 , y + 2 > \)
\( \vec{BC} \; = \; < - \dfrac{1}{2} - (-2) , 0 - (-2)> \; = \; < \dfrac{3}{2} , 2> \)
Ahora usamos el hecho de que el producto escalar es igual a cero.
\( \vec{BM} \cdot \vec{BC} \; = \; (x + 2)\dfrac{3}{2} + (y + 2)(2) = 0 \)
Expande y simplifica para encontrar la ecuación de la tangente.
\( \dfrac{3}{2} x + 2 y = - 7 \)

Pregunta 5
Encuentra el ángulo entre las líneas dadas por las ecuaciones: \( y = 2 x + 4 \) y \( y = x + 3\).

Ángulo entre dos líneas
Fig1. - Ángulo entre dos líneas.

Solución a la Pregunta 5
Sea L1 la línea con ecuación \( y = 2 x + 4 \) y L2 la línea con ecuación \( y = x + 3\).
Primero encuentra el punto de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones: \[ y = 2 x + 4 \text{ y } y = x + 3 \]
El punto de intersección es \( (-1 , 2) \)
Ahora encontramos las intersecciones con el eje y de las dos líneas.
Para la línea L1, la intersección con el eje y es \( (0 , 4) \) y para L2, la intersección con el eje y es \( (0 , 3) \)
Ahora encontramos dos vectores \( \vec{V1} \) y \( \vec{V2} \) paralelos a L1 y L2, respectivamente.
\( \vec{V1} = < 0 - (-1) , 4 - 2 > = < 1 , 2 > \)
\( \vec{V2} = < 0 - (-1) , 3 - 2 > = < 1 , 1 > \)
Ahora calculamos el ángulo \( \theta \) entre las líneas dadas por sus ecuaciones.
\( \theta = \arccos \left(\dfrac{\vec{V1} \cdot \vec{V2}}{|\vec{V1}| \cdot |\vec{V2}|}\right) \)
El producto escalar \( \vec{V1} \cdot \vec{V2} \) se calcula usando las coordenadas:
\( \vec{V1} \cdot \vec{V2} = < 1 , 2 > \cdot < 1 , 1 > = 3 \)
Las magnitudes de \( \vec{V1} \) y \( \vec{V2} \) son:
\( |\vec{V1}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
\( |\vec{V2}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
\( \theta = \arccos \left(\dfrac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}\right) \approx 18.43^{\circ}\)

Más referencias y enlaces