Se presenta el producto escalar de dos vectores junto con preguntas y soluciones detalladas. También se utilizan algunas de las fórmulas para vectores.
\( \) \( \)\( \) \( \)
El producto escalar (también llamado producto punto y producto interno) de los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) se escribe y define de la siguiente manera
Dos vectores, con magnitudes distintas de cero, son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero.
1) \( \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \)
2) \( \vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C} ) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C} \)
Pregunta 1
Encuentra el número real \( b \) para que los vectores \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) dados por sus componentes a continuación sean perpendiculares.
\( \vec{A} = < -2 , -b > \) , \( \vec{B} = < -8 , b > \).
Solución a la Pregunta 1
La condición para que dos vectores \( \vec{A} = < Ax , Ay > \) y \( \vec{B} = < Bx , By > \) sean perpendiculares es que su producto escalar sea igual a cero:
\[ A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y = 0 \]
Sustituye los componentes por sus valores y simplifica.
\( (-2)(-8) + (-b)(b) = 0 \)
\( 16 - b^2 = 0 \)
\( b^2 = 16 \)
Resuelve para \( b \) para encontrar las soluciones:
\( b = 4 \) y \( b = -4 \)
Dos valores \( b = 4\) y \( b = -4\) hacen que los vectores \( \vec{A} = < -2 , -b > \) y \( \vec{B} = < -8 , b > \) sean perpendiculares.
Pregunta 2
Encuentra el ángulo formado por los vectores A y B dados a continuación.
\( \vec{A} = < 2 , 1 , 3 > \) , \( \vec{B} = < 3 , -2 , 1 > \).
Solución a la Pregunta 2
Primero usamos los componentes para encontrar el producto escalar de los dos vectores.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = (2)(3)+(1)(-2)+(3)(1) = 7 \)
Luego expresamos el producto escalar usando las magnitudes y el ángulo \( \theta \) formado por los dos vectores.
\( \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \cos \theta = 7 \)
Lo que nos da:
\( \cos \theta = \dfrac{7}{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|} \)
Calcula las magnitudes \( |\vec{A}| \) y \( |\vec{B}| \)
\( |\vec{A}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{14} \)
\( |\vec{B}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{14} \)
\( \cos \theta = \dfrac{7}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \)
Simplifica:
\( \cos \theta = \dfrac{7}{14} = 1/2\)
El ángulo formado por los vectores dados es: \[ \theta = \arccos(1/2) = 60^{\circ} \]
Pregunta 3
Dado el vector \( \vec{U} = < 3 , -7 > \), encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto \( B(2 , 1) \) y es perpendicular al vector \( \vec{U} \).
Solución a la Pregunta 3
Un punto \( M(x , y) \) está en la línea que pasa por el punto \( B(2 , 1) \) y es perpendicular al vector \( \vec{U} = < 3 , -7 > \) si y solo si los vectores \( \vec{BM} \) y \( \vec{U} \) son perpendiculares.
Primero encontremos los componentes del vector \( BM \).
\( \vec{BM} = < x - 2 , y - 1 > \)
Los vectores \( \vec{BM} = < x -2 , y - 1 > \) y \( \vec{U} = < 3 , -7 > \) son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero. Por lo tanto,
\( (x - 2) (3) + (y - 1)(-7) = 0 \)
Expande y simplifica para obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto \( B(2 , 1) \) y es perpendicular al vector \( \vec{U} \).
\[ 3 x - 7 y = - 1 \]
Pregunta 4
Dados los puntos \( A(1 , 2) \) y \( B(-2 , -2) \), encuentra la ecuación de la tangente en el punto \( B \) al círculo con diámetro \( AB \).
Pregunta 5
Encuentra el ángulo entre las líneas dadas por las ecuaciones: \( y = 2 x + 4 \) y \( y = x + 3\).