Introducción a los Vectores

Introducción

vectores en 2 dimensiones
Figura 1. Vector en 2 dimensiones.
Un vector es un concepto matemático que cuantifica o describe matemáticamente cantidades que tienen una magnitud y una dirección . Fuerzas , velocidad y desplazamiento son ejemplos de cantidades que tienen magnitud y dirección, y por lo tanto, pueden describirse utilizando vectores.
Los vectores en una dimensión describen cantidades en una dirección y su opuesta. Los vectores en dos dimensiones describen cantidades en un plano, y los vectores en tres dimensiones describen cantidades en el espacio tridimensional.


Vectores en 2 dimensiones

\( \) \( \)\( \) \( \) Un vector bidimensional se utiliza para representar una cantidad en un plano. A la derecha, se muestra el vector A en dos dimensiones con componentes \( A_x \) y \( A_y \) que pueden escribirse como
\[ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} \] o \[ \vec{A} = < A_x \; , \; A_y > \]
La magnitud del vector \( \vec{A} \), escrita como \( |\vec{A}| \), se da por la fórmula
\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]


Vectores en 3 dimensiones

Un vector tridimensional se utiliza para representar una cantidad en un espacio tridimensional. A continuación, se muestra el vector \( \vec{A} \) en tres dimensiones con componentes \( A_x \), \( A_y \) y \( A_z \), que pueden escribirse como \[ \vec{A} = A_x \vec{i} + A_y \vec{j} + A_z \vec{k} \] o \[ \vec{A} = < A_x \; , \; A_y ; , \; A_z > \]

vectores en 3 dimensiones
Figura 2. Vector en 3 dimensiones.

La magnitud del vector \( \vec{A} \), escrita como \( |\vec{A}| \), se da por la fórmula
\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2} \]


Magnitud y Dirección de un Vector en 2 dimensiones

Refiriéndose a la figura 1 anterior, \( \theta \), el ángulo entre el vector y la dirección del eje x positivo, en dirección antihoraria, se llama la dirección del vector. Las relaciones entre \( \theta \), \( A_x = |\vec{A}| \cos \theta \) y los componentes \( A_x \) y \( A_y\) del vector \( \vec{A} \) son:
\( A_x = |\vec{A}| \cos \theta \)
\( A_y = |\vec{A}| \sin \theta \)
\( \tan \theta = \dfrac {A_y}{A_x} \)


Ejemplo 1
La magnitud de un vector bidimensional es 10 y su dirección \( \theta = 135^{\circ} \). Encuentre sus componentes \( A_x \) y \( A_y \).
Solución
\( A_x = |\vec{A}| \cos \theta = 10 \cos 135^{\circ} = -5 \sqrt{2} \)
\( A_y = |\vec{A}| \sin \theta = 10 \sin 135^{\circ} = 5 \sqrt{2} \)


Ejemplo 2
Encuentre la magnitud y dirección del vector \( \vec{B} = 2 \vec{i} - 2 \sqrt{3} \vec{j} \)
Solución
Magnitud:
\( |\vec{B}| = \sqrt {2^2 + (- 2 \sqrt{3})^2 = 4 } \)
Dirección \( \theta \):

\( \tan(\theta) = \dfrac{A_y}{A_x} = \dfrac{- 2 \sqrt{3}}{2} = - \sqrt{3} \)
Ignorando el signo, el ángulo de referencia de \( \theta \) es igual a \( \arctan(\sqrt{3}) = 60^{\circ} \)
Dado que el componente x del vector dado es positivo y su componente y es negativo, el lado terminal del ángulo \( \theta \) está en el cuadrante IV, por lo tanto
\( \theta = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ} \)
El vector B forma un ángulo de \( 300^{\circ} \) con el eje x positivo en dirección antihoraria.


Más referencias y enlaces

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