Suma y Resta de Vectores

Suma y Resta de Vectores

Suma de Vectores

La Figura 1, a continuación, muestra dos vectores en un plano. Para sumar los dos vectores, traslada uno de ellos de modo que el punto final de uno coincida con el punto inicial del segundo vector. La suma es un vector cuyo punto inicial es el punto inicial del primer vector y cuyo punto final es el punto final del segundo vector, como se muestra en la Figura 2.

2 vectores en 2 dimensiones
Figura 1. - Vectores en 2 Dimensiones.
suma de 2 vectores
Figura 2. - Suma de 2 vectores en 2 Dimensiones - Paralelogramo.

Cuando se conocen los componentes de los dos vectores, la suma de dos vectores se encuentra sumando los componentes correspondientes.

Ejemplo 1
Dado los vectores \( A = \lt 2 , -4 > \) y \( B = \lt 4 , 8 > \), encuentra los componentes de \( \vec A + \vec B \).
Solución
\( \vec A + \vec B = \; \lt 2 , -4 > + \lt 4 , 8> = \; \lt 2 + 4 ,-4 + 8 > = \; \lt 6 , 4 > \)


Resta de Vectores

La resta de dos vectores se muestra en la Figura 3. La idea es cambiar la resta por una suma de la siguiente manera: \[ \vec A - \vec B = \vec A + (- \vec B) \]

resta de 2 vectores
Figura 3. - Resta de 2 Vectores.



Ejemplo 2
Dado los vectores \( A = \; \lt 2 , 6 > \) y \( B = \; \lt -2 , 8 > \), encuentra los componentes de \( \vec A - \vec B \).
Solución
\( \vec A - \vec B = \; \lt 2 , 6 > - \lt -2 , 8 > = \; \lt 2 - (-2), -6 - 8 > = \; \lt 4 , -2 > \)

Relación Entre Magnitud, Dirección y Componentes de un Vector

Las relaciones entre la magnitud \( |\vec A| \), la dirección \( \theta \), que es el ángulo que forma el vector con la dirección positiva del eje x, y los componentes \( A_x \) y \( A_y \) del vector \( \vec A \) se dan por:
\( A_x = |\vec A| \cos \theta \)
\( A_y = |\vec A| \sin \theta \)
\( |\vec A| = \sqrt {A_x^2 + A_y^2} \)
\( \tan \theta = \dfrac{A_y}{A_x} \)
NOTA que al determinar \( \theta \), es necesario tener en cuenta los signos de los componentes \( A_x \) y \( A_y \), como se muestra en el Ejemplo 3.

Magnitud, Dirección y Componentes de un Vector
Figura 4. - Magnitud, Dirección y Componentes de un Vector.


Ejemplo 3
Las magnitudes de dos vectores \( \vec U \) y \( \vec V \) son iguales a 5 y 8, respectivamente. \( \vec U \) forma un ángulo de 20° con la dirección positiva del eje x y \( \vec V \) forma un ángulo de 80° con la dirección positiva del eje x. Ambos ángulos se miden en sentido antihorario. Encuentra las magnitudes y direcciones de los vectores \( \vec U + \vec V \) y \( \vec U - \vec V \).

Solución
Primero usemos las magnitudes y direcciones para encontrar los componentes de los vectores \( \vec U \) y \( \vec V \).
\( \vec U = \lt 5 \cos(20^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ}) > \)
\( \vec V = \lt 8 \cos(80^{\circ}) , 8 \sin(80^{\circ}) > \)

Componentes del vector \( \vec U + \vec V \)
\( \vec U + \vec V = \lt 5 \cos(20^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ})> + \lt 10 \cos(80^{\circ}) , 10 \sin(80^{\circ})> \)
\( = \; \lt 5 \cos(20^{\circ}) + 10 \cos(80^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ}) + 10 \sin(80^{\circ}) > \)
Magnitud del vector \( \vec U + \vec V \)
Ahora que tenemos los componentes del vector \( \vec U + \vec V \), podemos calcular la magnitud de la siguiente manera:
\( |\vec U + \vec V| = \sqrt{ (5 \cos(20^{\circ}) + 10 \cos(80^{\circ}))^2 + (5 \sin(20^{\circ})+10 \sin(80^{\circ}))^2} \approx 13.22\)
\( \theta \) : Dirección del vector \( \vec U + \vec V \)
Ahora aproximamos los componentes del vector \( \vec U + \vec V \) para determinar el cuadrante de este vector.
\( \vec U + \vec V = \; \lt 5 \cos(20^{\circ}) + 10 \cos(80^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ}) + 10 \sin(80^{\circ}) > \; \approx \; \lt 6.43 , 11.6 > \)
Los componentes aproximados del vector \( \vec U + \vec V \) son ambos positivos, por lo tanto, la dirección dada por el ángulo \( \theta \) en posición estándar se calcula como sigue:
\( \tan \theta = \dfrac{componente\; y \; de \; \vec U + \vec V}{componente\; x \; de \; \vec U + \vec V} \)
Sustituyendo:
\( \tan \theta = \dfrac{5 \sin(20^{\circ})+10 \sin(80^{\circ})}{5 \cos(20^{\circ}) + 10 \cos(80^{\circ})} \)
El ángulo \( \theta \), que es la dirección, se da por
\( \theta = \arctan (\dfrac{5 \sin(20^{\circ})+10 \sin(80^{\circ})}{5 \cos(20^{\circ}) + 10 \cos(80^{\circ})}) \approx 60.9^{\circ} \)

Componentes del vector \( \vec U - \vec V \)
\( \vec U - \vec V = \lt 5 \cos(20^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ})> - \lt 10 \cos(80^{\circ}) , 10 \sin(80^{\circ})> \)
\( = (5 \cos(20^{\circ}) - 10 \cos(80^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ}) - 10 \sin(80^{\circ})) \)
Magnitud del vector \( \vec U - \vec V \)
Ahora que tenemos los componentes del vector \( \vec U - \vec V \), podemos calcular la magnitud de la siguiente manera:
\( |\vec U - \vec V| = \sqrt{ (5 \cos(20^{\circ}) - 10 \cos(80^{\circ}))^2 + (5 \sin(20^{\circ}) - 10 \sin(80^{\circ}))^2} \approx 8.66\)
\( \beta \) : Dirección del vector \( \vec U - \vec V \)
Ahora aproximamos los componentes del vector \( \vec U - \vec V \) para determinar el cuadrante de este vector.
\( \vec U - \vec V = \; \lt 5 \cos(20^{\circ}) - 10 \cos(80^{\circ}) , 5 \sin(20^{\circ}) - 10 \sin(80^{\circ}) > \; \approx \; \lt 2.96 , -8.14 > \)
Los signos de los componentes del vector \( \vec U - \vec V \) indican que el lado terminal del ángulo \( \beta \) está en el cuadrante IV. Entonces, primero determinamos el ángulo de referencia \( \alpha \) dado por
\( \tan \alpha = \dfrac{|5 \sin(20^{\circ})-10 \sin(80^{\circ})|}{|5 \cos(20^{\circ}) - 10 \cos(80^{\circ})|} \)
\( \alpha = \arctan (\dfrac{|5 \sin(20^{\circ})-10 \sin(80^{\circ})|}{|5 \cos(20^{\circ}) - 10 \cos(80^{\circ})|}) \approx 70^{\circ} \)
Los signos de los componentes del vector \( \vec U - \vec V \) indican que el lado terminal del ángulo \( \beta \) está en el cuadrante IV y por lo tanto, la dirección del ángulo en posición estándar \( \beta \) está dada por:
\( \beta = 360^{\circ} - \alpha = 290^{\circ} \)


Ejemplo 4
Los componentes de tres vectores \( \vec A \), \( \vec B \) y \( \vec C \) se dan de la siguiente manera:
\( \vec A = \; \lt 2 , -1 > \), \( \vec B = \; \lt -3 , 2 > \) y \( \vec C = \; \lt 13 , - 8> \)
Encuentra los números reales a y b tales que: \( \vec C = a \vec A + b \vec B \)
Solución
Primero reescribimos la ecuación \( \vec C = a \vec A + b \vec B \) sustituyendo los componentes de los vectores
\( \lt 13, - 8 > = a \lt 2 , -1> + b \lt -3 , 2> \)
Multiplica los componentes en el lado izquierdo.
\( \lt 13, - 8 > = \; \lt 2 a , - a> + \lt -3 b , 2b > \)
Suma los componentes en el lado izquierdo y reescribe como:
\( \lt 13, - 8 > = \; \lt 2a - 3b , -a + 2b >\)
Los vectores son iguales cuando sus componentes son iguales, por lo tanto las ecuaciones son:
\( 13 = 2 a - 3 b \) y \( - 8 = - a + 2 b \)
Resuelve las ecuaciones anteriores para a y b y obtenemos
\( a = 2 \) y \( b = -3 \).


Más Referencias y Enlaces