El rumbo se utiliza para dar dirección en la aviación. Se define como un ángulo positivo de 0 a 360 medido en el sentido de las agujas del reloj con respecto al norte (ver en la figura 1 ejemplos a continuación).
La brújula magnética era utilizada por los marineros para dar direcciones. Usando los cuatro puntos cardinales de una brújula, se da una dirección como un ángulo de rotación de un punto cardinal a otro.
Los ejemplos se muestran en la figura 2 a continuación.
Ejemplo de la izquierda, la dirección "O 30° N" es el ángulo de rotación de 30°, desde el Oeste al Norte.
Ejemplo de la derecha, la dirección "N 60° E" es el ángulo de rotación de 60° desde el Norte hacia el Este.
Pregunta 1
Encuentra los componentes del vector OA donde O es el origen del sistema de ejes rectangulares y A es un punto a 20 unidades de distancia del origen en un rumbo de 30°.
Solución a la Pregunta 1
θ = 90° - 30° = 60°
También sabemos que la longitud del vector OA es de 10 unidades. Por lo tanto, los componentes x y y del vector OA están dados respectivamente por
Ax = 10 cos(60°) = 5
Ay = 10 sin(60°) = 5 √3
Pregunta 2
Un barco viajó una distancia de 50 km desde el puerto O en un rumbo de 120°, luego otros 100 km hasta el puerto B en un rumbo de 200°. ¿Cuál es la distancia entre los puertos O y B?
Solución a la Pregunta 2
Un diagrama que incluye la ruta seguida por el barco se muestra a la derecha (ver figura). V1 es el vector que describe la dirección y distancia de la primera parte del viaje (50 km) y V2 es el vector que describe la dirección y distancia de la segunda parte del viaje (100 km).
Para encontrar la distancia de O a B, podemos usar el vector OB de la siguiente manera:
OB = V1 + V2
OB·OB = (V1 + V2)·(V1 + V2)
Nota que: OB·OB = OB 2
Por lo tanto: OB 2 = V1 2 + V2 2 + 2V1·V2
V1·V2 = V1 V2 cos (θ), donde θ es el ángulo entre V1 y V2 como se muestra en la figura 2 y es igual a
θ = 200° - 120° = 80°
Por lo tanto
OB 2 = 50 2 + 100 2 + 2 (50)(100)cos(80°)
OB = √(50 2 + 100 2 + 2 (50)(100)cos(80°)) ≈ 119.31 km
Pregunta 3
El punto A está a 20 unidades de distancia del origen en la dirección "N 30° O" y el punto B está a 30 unidades de distancia del origen en la dirección "S 58° O". Encuentra los componentes del vector AB.
Solución a la Pregunta 3
AB = AO + OB
Vamos a encontrar los componentes de los vectores OA y OB.
OA = (20 cos(θ1) , 20 sin(θ1))
= (20 cos(120°) , 20 sin(120°))
OB = (30 cos(θ2) , 30 sin(θ2))
= (30 cos(-148°) , 30 sin(-148°))
Nota que
AO = -OA = (-20 cos(120°) , -20 sin(120°))
Ahora calculamos los componentes del vector AB de la siguiente manera:
AB = AO + OB = (-20 cos(120°) , -20 sin(120°)) + (30 cos(-148°) , 30 sin(-148°))
= (-20 cos(120°) + 30 cos(-148°) , -20 sin(120°) + 30 sin(-148°))
≈ (-15.44 , -33.21)
Pregunta 4
Encuentra los componentes de un vector unitario U cuya dirección está en el rumbo de 30°.
Solución a la Pregunta 4
Por definición, un vector unitario tiene una magnitud igual a 1.
La dirección del vector unitario U está en el rumbo de 30°. Por lo tanto, el ángulo entre el vector U y el eje positivo x es de 60°. Por lo tanto, los componentes del vector U están dados por:
Ux = (1) cos(60°) = 1/2
Uy = (1) sin(60°) = √3 / 2
Pregunta 5
Un objeto se mueve desde el origen O al punto A, luego al punto B y finalmente se detiene en el punto C (ver figura a continuación). Las distancias cubiertas son: OA = 10 cm, AB = 12 cm y BC = 20 cm. Las direcciones están dadas por los rumbos de la siguiente manera: 120° de O a A, 180° de A a B y 250° de B a C. Encuentra la distancia de O a C.
Solución a la Pregunta 5
OC = OA + AB + BC
Los ángulos entre los tres vectores y el eje positivo x son:
Vector OA: θ1 = -(120° - 90°) = -30°
Vector AB: θ2 = -(180° - 90°) = -90°
Vector BC: θ3 = -(250° - 90°) = -160°
Ahora conocemos las magnitudes y direcciones de cada uno de los tres vectores; calculemos los componentes de cada vector.
OA = (10 cos(-30°), 10 sin(-30°))
AB = (12 cos(-90°), 12 sin(-90°)) = (0, -12)
BC = (20 cos(-160°), 20 sin(-160°))
Los componentes del vector OC están dados por la suma de los componentes de los tres vectores OA, AB y BC.
Vector OC = (10 cos(-30°) + 0 + 20 cos(-160°), 10 sin(-30°) - 12 + 20 sin(-160°))
La distancia OC está dada por la magnitud del vector OC.
Distancia OC = √((10 cos(-30°) + 0 + 20 cos(-160°))2 + (10 sin(-30°) - 12 + 20 sin(-160°))2)
≈ 25.46 cm